早稲田大学
2015年 人間科学学部（理系） 第5問
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![曲線C:y=x^3上に，次のようにして点P_1，P_2，P_3，・・・，P_n，・・・をとる．(i)P_1はC上の与えられた点とする．(ii)P_nを通り，P_nとは異なる点でCと接する直線が1つだけ存在するとき，その直線をℓ_nとし，ℓ_nとCとの接点をP_{n+1}とする．もしこのような直線ℓ_nが存在しない場合にはP_{n+1}はP_nと同一の点とする．点P_nのx座標をx_nとするとき，次の問に答えよ．(1)直線ℓ_nが存在する場合x_{n+1}=\frac{[ト]}{[ナ]}x_nである．(2)P_1を原点とするとき\lim_{n→∞}x_n=[ニ]である．(3)P_1を点(2,8)とするとき\lim_{n→∞}x_n=[ヌ]である．](./thumb/304/12/2015_5.png)
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曲線$C:y=x^3$上に，次のようにして点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$をとる．
(ⅰ) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする．
(ⅱ) $\mathrm{P}_n$を通り，$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき，その直線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする．
点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1) 直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}x_n$である．
(2) $\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{ニ}$である．
(3) $\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{ヌ}$である．
(ⅰ) $\mathrm{P}_1$は$C$上の与えられた点とする．
(ⅱ) $\mathrm{P}_n$を通り，$\mathrm{P}_n$とは異なる点で$C$と接する直線が$1$つだけ存在するとき，その直線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$C$との接点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．もしこのような直線$\ell_n$が存在しない場合には$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$と同一の点とする．
点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1) 直線$\ell_n$が存在する場合$\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}x_n$である．
(2) $\mathrm{P}_1$を原点とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{ニ}$である．
(3) $\mathrm{P}_1$を点$(2,\ 8)$とするとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{ヌ}$である．
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