早稲田大学
2015年 人間科学学部（文系） 第5問
5
![直線ℓ:xsinθ+ycosθ=1(0＜θ＜π/2)に接する4つの円を考える．xsinθ+ycosθ＜1の領域で2つの円は互いに接しており，そのうち1つの円は直線ℓとx軸に，もう一方の円は直線ℓとy軸に接している．これらの円の半径はいずれもr_1である．このときr_1=\frac{1}{[ソ]t^2+[タ]t}( ただし t=sinθ+cosθ)となる．残りの2つの円は，xsinθ+ycosθ＞1の領域で互いに接しており，そのうち1つの円は直線ℓとx軸に，もう一方の円は直線ℓとy軸に接している．これらの円の半径はいずれもr_2である．このときr_2=\frac{1}{[チ]t^2+[ツ]t+[テ]}( ただし t=sinθ+cosθ)となる．したがって[ト]＜\frac{r_1}{r_2}≦\sqrt{[ナ]}+[ニ]である．](./thumb/304/11/2015_5.png)
5
直線
\[ \ell:x \sin \theta+y \cos \theta=1 \quad \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right) \]
に接する$4$つの円を考える．
$x \sin \theta+y \cos \theta<1$の領域で$2$つの円は互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_1$である．このとき \[ r_1=\frac{1}{\fbox{ソ}t^2+\fbox{タ}t} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \] となる．
残りの$2$つの円は，$x \sin \theta+y \cos \theta>1$の領域で互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_2$である．このとき \[ r_2=\frac{1}{\fbox{チ}t^2+\fbox{ツ}t+\fbox{テ}} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \] となる．
したがって \[ \fbox{ト}<\frac{r_1}{r_2} \leqq \sqrt{\fbox{ナ}}+\fbox{ニ} \] である．
$x \sin \theta+y \cos \theta<1$の領域で$2$つの円は互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_1$である．このとき \[ r_1=\frac{1}{\fbox{ソ}t^2+\fbox{タ}t} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \] となる．
残りの$2$つの円は，$x \sin \theta+y \cos \theta>1$の領域で互いに接しており，そのうち$1$つの円は直線$\ell$と$x$軸に，もう一方の円は直線$\ell$と$y$軸に接している．これらの円の半径はいずれも$r_2$である．このとき \[ r_2=\frac{1}{\fbox{チ}t^2+\fbox{ツ}t+\fbox{テ}} \quad (\text{ただし}t=\sin \theta+\cos \theta) \] となる．
したがって \[ \fbox{ト}<\frac{r_1}{r_2} \leqq \sqrt{\fbox{ナ}}+\fbox{ニ} \] である．
つぶやく
コメント（0件）
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。
