ある競技の大会に，チーム$1$，チーム$2$，チーム$3$，チーム$4$が参加している．大会は予選と決勝戦からなる．まず，抽選によって，図のように$2$チームずつに分かれて予選を行う．次に，各予選の勝者が決勝戦を行う．過去の対戦成績から次のことが分かっている．
チーム$i$とチーム$j$（$1\leq i< j \leq 4$）が試合をするとき，確率$p$でチーム$j$が勝利し，確率$1-p$でチーム$i$が勝利する．ただし$0<p<1$である．
このとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．
(1) チーム$1$が優勝する確率を求めよ．
(2) 予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦する確率を求めよ．
(3) 予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦するとき，チーム$2$が優勝する確率を求めよ．
(4) この大会においてチーム$2$が優勝する確率$f(p)$を求めよ．
(5) $f(p)$を最大にする$p$の値を求めよ． \imgc{304_1_2012_1}