$k$を実数とする．$3$次関数 \[ f(x) = -x^3 + kx^2 +kx +1 \] が$x=\alpha$で極小値をとり，$x=\beta$で極大値をとる．$3$点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\beta,\ f(\alpha))$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすとき， \[ \alpha + \beta = \frac{\fbox{テ}}{3}k, \quad \alpha\beta = \frac{\fbox{ト}}{3}k \] である．したがって， \[ k= \frac{\fbox{ナ} \pm \fbox{ニ}\sqrt{\fbox{ヌ}}}{2} \] となる．ただし，\fbox{ニ}は自然数，\fbox{ヌ}はできるだけ小さい自然数で答えることとする．