$2$個以上の正の整数を要素とする有限集合を$A$とする．
$A$のどの$2$数も一方が他方を割り切るとき$A$は良い集合であるといい，$A$のどの$2$数も互いに他を割り切らないとき$A$は悪い集合であるという．
また，$A$の良い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち， \[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は良い集合} \right\} \] を$A$の最良数と定義し，$A$の悪い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち， \[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は悪い集合} \right\} \] を$A$の最悪数と定義する．
たとえば，$A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 14,\ 15,\ 77,\ 154,\ 225,\ 231,\ 308 \}$のとき，$A$の良い部分集合は$\{7,\ 77,\ 231\}$，$\{7,\ 14,\ 154,\ 308 \}$，$\{11,\ 77,\ 154,\ 308 \}$などであり，$A$の最良数は$4$である．また，$A$の悪い部分集合は$\{231,\ 308 \}$，$\{14,\ 15,\ 77 \}$，$\{2,\ 7,\ 11,\ 15 \}$，$\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11 \}$などであり，$A$の最悪数は$5$である．
$k$を$2$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $n(A)=k^2$で，かつ最良数も最悪数も$k$である集合$A$が存在することを証明せよ．
(2) $n(A) \geqq k^2+1$ならば，$A$の最良数または$A$の最悪数のどちらかは$k+1$以上であることを証明せよ．
(3) 要素数が$2014$で，かつ最良数と最悪数が等しいような集合，すなわち， \[ n(A)=2014 \quad \text{かつ} \quad (A \text{の最良数})=(A \text{の最悪数}) \] を満たす集合$A$を考える．このような集合たちの中で最良数が最小となる集合の例を挙げよ．