早稲田大学
2014年 教育 第1問
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![次の空欄[1]から[6]にあてはまる数または数式を記入せよ．(1)3次曲線y=x^3-6x^2+11x-4と直線y=axが第1象限の相異なる3点で交わるような定数aの範囲は[1]＜a＜[2]である．(2)硬貨を投げ，3回つづけて表が出たら終了する．n回以下で終了する場合の数をf_nとする．f_{10}=[3]である．(3)不等式a/19＜log_{10}7＜b/13を満たす最大の整数aと最小の整数bはa=[4]，b=[5]である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．\begin{array}{lll}7^1=7&7^2=49&7^3=343\7^4=2401&7^5=16807&7^6=117649\7^7=823543&7^8=5764801&7^9=40353607\7^{10}=282475249&7^{11}=1977326743&7^{12}=13841287201\7^{13}=96889010407&7^{14}=678223072849\end{array}(4)四面体ABCDは，4つの面のどれも3辺の長さが7,8,9の三角形である．この四面体ABCDの体積は[6]である．](./thumb/304/7/2014_1.png)
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次の空欄$\fbox{$1$}$から$\fbox{$6$}$にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1) $3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$\fbox{$1$}<a<\fbox{$2$}$である．
(2) 硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=\fbox{$3$}$である．
(3) 不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=\fbox{$4$}$，$b=\fbox{$5$}$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい． \[ \begin{array}{lll} 7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\ 7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\ 7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\ 7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\ 7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849 \end{array} \]
(4) 四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\fbox{$6$}$である．
(1) $3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$\fbox{$1$}<a<\fbox{$2$}$である．
(2) 硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=\fbox{$3$}$である．
(3) 不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=\fbox{$4$}$，$b=\fbox{$5$}$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい． \[ \begin{array}{lll} 7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\ 7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\ 7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\ 7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\ 7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849 \end{array} \]
(4) 四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\fbox{$6$}$である．
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