$1$と$2$を用いて$n$桁の自然数を作る．このような$n$桁の自然数のうち，$3$の倍数となる数の個数を$a_n$，そうで ない数の個数を$b_n$とする． \[ a_1= \fbox{ク}, \quad b_1=\fbox{ケ} \] である．また， \[ a_n+b_n = \fbox{コ}^n \] であり，さらに，実数$p,\ q,\ r,\ s$を用いて， \[ a_{n+1} = pa_n + qb_n \] \[ b_{n+1} = ra_n +sb_n \] と表すことができる． \[ p=\fbox{サ},\quad q=\fbox{シ} \] である．ここで，$c_n=\displaystyle\frac{a_n}{2^n}$とおくと， \[ c_{n+1} = \frac{\fbox{ス}}{2}c_n + \frac{\fbox{セ}}{2}, \quad c_1 = \fbox{ソ} \] となる．よって， \[ a_n = \frac{\fbox{タ}}{3}\left(\fbox{チ}\right)^n + \frac{\fbox{ツ}^n}{3} \] である．