早稲田大学
2010年 スポーツ科学学部 第4問
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![-1≦a≦1の範囲の実数aに対してf(a)=∫_{-1}^1x|x-a|dxとおく．kを実数とし，区間-1≦x≦1を定義域とする関数g(x)=12f(x)+kxを考える．(1)-1≦x≦1の範囲で12f(x)=[ハ]x^3-[ヒ]xが成り立つ．(2)関数g(x)がx=\frac{√3}{2}で最小値をとるとき，k=[フ]である．(3)関数g(x)が最小値をとるようなxの値が2つあるとき，k=[ヘ]である．このときのg(x)の最小値は[ホ]である．](./thumb/304/13/2010_4.png)
4
$-1 \leqq a \leqq 1$の範囲の実数$a$に対して
\[ f(a)=\int_{-1}^1 x |x-a| \, dx \]
とおく．$k$を実数とし，区間$-1 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数
\[ g(x)=12f(x)+kx \]
を考える．
(1) $-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で \[ 12f(x)=\fbox{ハ}x^3-\fbox{ヒ}x \] が成り立つ．
(2) 関数$g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$で最小値をとるとき，$k=\fbox{フ}$である．
(3) 関数$g(x)$が最小値をとるような$x$の値が$2$つあるとき，$k=\fbox{ヘ}$である．このときの$g(x)$の最小値は$\fbox{ホ}$である．
(1) $-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で \[ 12f(x)=\fbox{ハ}x^3-\fbox{ヒ}x \] が成り立つ．
(2) 関数$g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$で最小値をとるとき，$k=\fbox{フ}$である．
(3) 関数$g(x)$が最小値をとるような$x$の値が$2$つあるとき，$k=\fbox{ヘ}$である．このときの$g(x)$の最小値は$\fbox{ホ}$である．
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