津田塾大学
2010年 学芸(情報科学) 第3問
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![実数A,Bに対して方程式x^2-Ax+B=0の解をp,qとする.ただしB≠0とする.(1)自然数nに対してb_n=p^n+q^nとおくとき,b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0が成り立つことを示せ.(2)自然数nに対してa_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^nとするとき,a_{n+2}をa_{n+1},a_n,A,Bで表せ.(3)A=9/2,B=3/4とおくとき,a_nは任意の自然数nに対して整数となることを示せ.](./thumb/237/614/2010_3.png)
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実数$A,\ B$に対して方程式$x^2-Ax+B=0$の解を$p,\ q$とする.ただし$B \neq 0$とする.
(1) 自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき,$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ.
(2) 自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき,$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ.
(3) $\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき,$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ.
(1) 自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき,$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ.
(2) 自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき,$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ.
(3) $\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき,$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ.
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