静岡大学
2012年 理学部(数) 第4問
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$a_1$を$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_1 < \frac{\pi}{4}$を満たす数とし,$\{a_n\}$を
\[ a_{n+1} = 1-\sin \;a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は,$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ.
(2) $n$を自然数とするとき,不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ.
(3) (1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ.
(1) 直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は,$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ.
(2) $n$を自然数とするとき,不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ.
(3) (1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ.
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