早稲田大学
2016年 基幹理工・創造理工・先進理工 第1問
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正の整数$m,\ n$に対して$f(m,\ n)$が次の等式を満たすように定められている.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(1,\ 1)=1,\quad f(2,\ 2)=6,\quad f(3,\ 3)=20 \\
f(m,\ n)=2f(m-1,\ n) \quad (m \geqq 2) \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \\
f(m,\ n)+3f(m,\ n-2)=3f(m,\ n-1)+f(m,\ n-3) \quad (n \geqq 4) \phantom{\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \right. \]
次の問に答えよ.
(1) $f(m,\ 1)$および$f(1,\ n)$をそれぞれ$m,\ n$の式で表せ.
(2) $f(6,\ 32)$の値を求めよ.
(3) 任意の正の整数$l$に対して,$f(m,\ n)=l$を満たす正の整数$m,\ n$が存在することを示せ.
(1) $f(m,\ 1)$および$f(1,\ n)$をそれぞれ$m,\ n$の式で表せ.
(2) $f(6,\ 32)$の値を求めよ.
(3) 任意の正の整数$l$に対して,$f(m,\ n)=l$を満たす正の整数$m,\ n$が存在することを示せ.
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コメント(1件)
2016-02-17 19:38:18
某予備校の解答はf(m,n)を直接予測して帰納法でしたが、そんな力技本番でできるか!と思いました(予測が難しく、予測するための計算も大変)。ので、漸化式の式変形でなんとかしました。こっちの変形も慣れてないと難しく、考え方によってはこっちの方が力技なのかもしれませんが。多分作問者はこっちの解答を想定していると思います。かなり力が必要です。 |
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