和歌山県立医科大学
2010年 医学部 第2問
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![A，B，Cのいずれかの状態をとる粒子があり，その状態は次のように変化していく．\mon[(イ)]状態Aであるとき，1秒後に状態A，状態Bである確率はともに1/2である．\mon[(ロ)]状態Bであるとき，1秒後に状態Bである確率は1/3であり，状態Cである確率は2/3である．\mon[(ハ)]状態Cとなったときは，その後は変化なくCの状態が続く．粒子は最初状態Aであるとし，n秒後に状態A，状態B，状態Cである確率をそれぞれP_n,Q_n,R_nとする．次の問いに答えよ．ただし，m,nは自然数とする．(1)R_nを求めよ．(2)異なるm,nでQ_m=Q_nとなることはあるか．(3)P_m=Q_nとなることはあるか．](./thumb/606/2292/2010_2.png)
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$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれかの状態をとる粒子があり，その状態は次のように変化していく．
[(イ)] 状態$\mathrm{A}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$である確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$である． [(ロ)] 状態$\mathrm{B}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であり，状態$\mathrm{C}$である確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$である． [(ハ)] 状態$\mathrm{C}$となったときは，その後は変化なく$\mathrm{C}$の状態が続く．
粒子は最初状態$\mathrm{A}$であるとし，$n$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$，状態$\mathrm{C}$である確率をそれぞれ$P_n,\ Q_n,\ R_n$とする．次の問いに答えよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(1) $R_n$を求めよ．
(2) 異なる$m,\ n$で$Q_m=Q_n$となることはあるか．
(3) $P_m=Q_n$となることはあるか．
[(イ)] 状態$\mathrm{A}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$である確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$である． [(ロ)] 状態$\mathrm{B}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であり，状態$\mathrm{C}$である確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$である． [(ハ)] 状態$\mathrm{C}$となったときは，その後は変化なく$\mathrm{C}$の状態が続く．
粒子は最初状態$\mathrm{A}$であるとし，$n$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$，状態$\mathrm{C}$である確率をそれぞれ$P_n,\ Q_n,\ R_n$とする．次の問いに答えよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(1) $R_n$を求めよ．
(2) 異なる$m,\ n$で$Q_m=Q_n$となることはあるか．
(3) $P_m=Q_n$となることはあるか．
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