電気通信大学
2014年 理系 第4問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について,以下の問いに答えよ.
(1) $A \left( \begin{array}{c} 1 \\ a \end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c} 1 \\ a \end{array} \right)$を満たす実数$a,\ k$の値を求めよ.
(2) 行列$P=\left( \begin{array}{cc} 1 & p \\ q & 0 \end{array} \right)$が$AP=P \left( \begin{array}{cc} r & 1 \\ 0 & r \end{array} \right)$を満たすとき,実数$p,\ q,\ r$の値を求めよ.
(3) 自然数$n$に対して,行列$B=\left( \begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{array} \right)$の$n$個の積$B^n$が \[ B^n=\left( \begin{array}{cc} \alpha^n & n \alpha^{n-1} \\ 0 & \alpha^n \end{array} \right) \] となることを証明せよ.ただし,$\alpha$は$0$と異なる実数とする.
(4) 自然数$n$に対して,$A$の$n$個の積$A^n$を求めよ.
(5) 自然数$n$に対して,実数$x_n,\ y_n$を$A^n=x_nA+y_nE$を満たすように定めるとき,$x_n,\ y_n$を$n$を用いて表せ.ただし,$E$は$2$次の単位行列とする.
(1) $A \left( \begin{array}{c} 1 \\ a \end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c} 1 \\ a \end{array} \right)$を満たす実数$a,\ k$の値を求めよ.
(2) 行列$P=\left( \begin{array}{cc} 1 & p \\ q & 0 \end{array} \right)$が$AP=P \left( \begin{array}{cc} r & 1 \\ 0 & r \end{array} \right)$を満たすとき,実数$p,\ q,\ r$の値を求めよ.
(3) 自然数$n$に対して,行列$B=\left( \begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{array} \right)$の$n$個の積$B^n$が \[ B^n=\left( \begin{array}{cc} \alpha^n & n \alpha^{n-1} \\ 0 & \alpha^n \end{array} \right) \] となることを証明せよ.ただし,$\alpha$は$0$と異なる実数とする.
(4) 自然数$n$に対して,$A$の$n$個の積$A^n$を求めよ.
(5) 自然数$n$に対して,実数$x_n,\ y_n$を$A^n=x_nA+y_nE$を満たすように定めるとき,$x_n,\ y_n$を$n$を用いて表せ.ただし,$E$は$2$次の単位行列とする.
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