旭川医科大学
2014年 医学部 第2問
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![0<a≦π/2とし,曲線y=1-cosx(0≦x≦a)をCとする.0<t<aとし,原点とC上の点(t,1-cost)を通る直線をℓとおくとき,次の問いに答えよ.(1)曲線Cと直線ℓとで囲まれた部分の面積をS_1(t),t≦x≦aの範囲でCとℓと直線x=aとで囲まれた部分の面積をS_2(t)とおくとき,S_1(t)+S_2(t)を求めよ.(2)S_1(t)+S_2(t)を最小とするtの値をt_0とするとき,t_0をaを用いて表せ.(3)\lim_{a→+0}\frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}を求めよ.ただし,a-\frac{a^3}{3!}<sina<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!}(a>0)は用いてよい.](./thumb/1/1/2014_2.png)
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$\displaystyle 0<a \leqq \frac{\pi}{2}$とし,曲線$y=1-\cos x \ \ (0 \leqq x \leqq a)$を$C$とする.$0<t<a$とし,原点と$C$上の点$(t,\ 1-\cos t)$を通る直線を$\ell$とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) 曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)$,$t \leqq x \leqq a$の範囲で$C$と$\ell$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき,$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ.
(2) $S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき,$t_0$を$a$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}$を求めよ.ただし,$\displaystyle a-\frac{a^3}{3!}<\sin a<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!} \ \ (a>0)$は用いてよい.
(1) 曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)$,$t \leqq x \leqq a$の範囲で$C$と$\ell$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき,$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ.
(2) $S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき,$t_0$を$a$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}$を求めよ.ただし,$\displaystyle a-\frac{a^3}{3!}<\sin a<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!} \ \ (a>0)$は用いてよい.
類題(関連度順)
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