金沢大学
2014年 文系 第3問
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![数列{a_n}がa_1+2a_2+3a_3+・・・+na_n=2^n-1(n=1,2,3,・・・)をみたしている.次の問いに答えよ.(1)一般項a_nを求めよ.(2)S_n=Σ_{k=1}^n\frac{1}{a_k}とおくとき,S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}(n=1,2,3,・・・)となることを数学的帰納法を用いて証明せよ.(3)和Σ_{k=1}^n\frac{k}{a_k}を求めよ.](./thumb/355/1273/2014_3.png)
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数列$\{a_n\}$が
\[ a_1+2a_2+3a_3+\cdots +na_n=2^n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている.次の問いに答えよ.
(1) 一般項$a_n$を求めよ.
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とおくとき, \[ S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となることを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) 和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k}$を求めよ.
(1) 一般項$a_n$を求めよ.
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とおくとき, \[ S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となることを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) 和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k}$を求めよ.
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