曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\log t$，$\log 2t$とし，曲線$C$と直線$\ell,\ m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．また，$\ell,\ m$の傾きをそれぞれ$\tan \alpha$，$\tan \beta$とする．ただし，$t>0$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\tan \alpha,\ \tan \beta$および$S$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2) $\beta-\alpha$が最大となるときの$t$の値を求めよ．