和歌山大学
2013年 理系 第2問
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次の問いに答えよ．
(1) 次の式が成り立つことを示せ． \[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2) 自然数$n$に対して， \[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \] が成り立つことを示せ．
(3) 自然数$n$に対して， \[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \] が成り立つことを示せ．
(1) 次の式が成り立つことを示せ． \[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2) 自然数$n$に対して， \[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \] が成り立つことを示せ．
(3) 自然数$n$に対して， \[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \] が成り立つことを示せ．
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