鹿児島大学
2013年 教育学部 第2問
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次の各問いに答えよ.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする.次の等式が成り立つことを示せ. \[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \] ただし,三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる.この点を三角形の垂心という.
(2) 次の$\tokeiichi,\ \tokeini$に答えよ.
(ⅰ) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する. \[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \] このとき,すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ.このことを証明せよ.
(ⅱ) すべての自然数$n$に対して,$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる.このことを数学的帰納法で証明せよ.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする.次の等式が成り立つことを示せ. \[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \] ただし,三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる.この点を三角形の垂心という.
(2) 次の$\tokeiichi,\ \tokeini$に答えよ.
(ⅰ) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する. \[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \] このとき,すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ.このことを証明せよ.
(ⅱ) すべての自然数$n$に対して,$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる.このことを数学的帰納法で証明せよ.
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