茨城大学
2010年 理学部 第3問
3
![△ABCにおいて∠A,∠B,∠Cの大きさと対辺の長さをそれぞれA,B,Cおよびa,b,cで表す.△ABCの面積をSとし,3頂点を通る円の半径をRとする.a≧b≧cとするとき以下の各問に答えよ.(1)sinA≧sinB≧sinCを示せ.(2)S=2R^2sinAsinBsinCを示せ.(3)\frac{a^2}{S},\frac{b^2}{S},\frac{c^2}{S}のそれぞれを\frac{cosA}{sinA},\frac{cosB}{sinB},\frac{cosC}{sinC}を用いて表せ.(4)\frac{cosA}{sinA}≦\frac{cosB}{sinB}≦\frac{cosC}{sinC}を示せ.(5)A≧B≧Cを示せ.\mon\frac{a^2}{S}≧\frac{4}{√3}を示せ.\mon△ABCが正三角形であるためには\frac{a^2}{S}=\frac{4}{√3}であることが必要十分であることを示せ.](./thumb/85/2188/2010_3.png)
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$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す.$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とし,$3$頂点を通る円の半径を$R$とする.$a \geqq b \geqq c$とするとき以下の各問に答えよ.
(1) $\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ.
(2) $S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ.
(3) $\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ.
(5) $A \geqq B \geqq C$を示せ. $\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ. $\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ.
(1) $\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ.
(2) $S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ.
(3) $\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ.
(5) $A \geqq B \geqq C$を示せ. $\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ. $\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ.
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