$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2) $p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3) $f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．