宇都宮大学
2015年 工学部 第5問
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$m \geqq 1$を整数とする．関数$f(x)=(\pi-x) \sin mx \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．
(1) $f(x)=0$となるすべての$x \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の値を，小さい順に$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$で表す．このとき，$N$を$m$の式で表し，$x_k \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N)$を$k$と$m$の式で表せ．
(2) $(1)$で定めた$x_k$と$x_{k+1} \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N-1)$に対し，曲線$y=f(x) \ \ (x_k \leqq x \leqq x_{k+1})$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_k$とするとき，$S_k$を$k$と$m$の式で表せ．
(3) $(2)$で求めた面積$S_k$の$k=1$から$N-1$までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} S_k$を求めよ．
(1) $f(x)=0$となるすべての$x \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の値を，小さい順に$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$で表す．このとき，$N$を$m$の式で表し，$x_k \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N)$を$k$と$m$の式で表せ．
(2) $(1)$で定めた$x_k$と$x_{k+1} \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ N-1)$に対し，曲線$y=f(x) \ \ (x_k \leqq x \leqq x_{k+1})$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_k$とするとき，$S_k$を$k$と$m$の式で表せ．
(3) $(2)$で求めた面積$S_k$の$k=1$から$N-1$までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1} S_k$を求めよ．
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