$\triangle \mathrm{PQR}$において$\angle \mathrm{RPQ}=\theta$，$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{\pi}{2}$とする．点$\mathrm{P}_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次で定める． \[ \mathrm{P}_1=\mathrm{P},\quad \mathrm{P}_2=\mathrm{Q},\quad \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2}=\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \] ただし，点$\mathrm{P}_{n+2}$は線分$\mathrm{P}_n \mathrm{R}$上にあるものとする．実数$\theta_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を \[ \theta_n=\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2} \quad (0<\theta_n<\pi) \] で定める．
(1) $\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ． \imgc{86_1824_2016_2}