四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき等式 \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \] が成り立つとする．$t$は実数の定数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2) 線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(3) $4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ．