平面上の直線$\ell$に同じ側で接する$2$つの円$C_1$，$C_2$があり，$C_1$と$C_2$も互いに外接している．$\ell$，$C_1$，$C_2$で囲まれた領域内に，これら$3$つと互いに接する円$C_3$を作る．同様に$\ell$，$C_n$，$C_{n+1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で囲まれた領域内にあり，これら$3$つと互いに接する円を$C_{n+2}$とする．円$C_n$の半径を$r_n$とし，$\displaystyle x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$r_1=16$，$r_2=9$とする．
(1) $\ell$が$C_1$，$C_2$，$C_3$と接する点を，それぞれ$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$とおく．線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ．
(2) ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．$a,\ b$の値も求めよ．
(3) $(2)$で求めた$a,\ b$に対して，$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha>\beta)$とする．$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい．
(4) $(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して， \[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となることを示し，数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ． \imgc{86_1824_2014_1}