筑波大学
2014年 理系 第3問
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関数$f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$を$x>0$で考える．$y=f(x)$のグラフの点$(a,\ f(a))$における接線を$\ell_a$とし，$\ell_a$と$y$軸との交点を$(0,\ Y(a))$とする．以下の問いに答えよ．ただし，実数$k$に対して$\displaystyle \lim_{t \to \infty}t^ke^{-t}=0$であることは証明なしで用いてよい．
(1) $Y(a)$がとりうる値の範囲を求めよ．
(2) $0<a<b$である$a,\ b$に対して，$\ell_a$と$\ell_b$が$x$軸上で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲を求め，$b$を$a$で表せ．
(3) $(2)$の$a,\ b$に対して，$Z(a)=Y(a)-Y(b)$とおく．$\displaystyle \lim_{a \to +0}Z(a)$および$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{Z^\prime(a)}{a}$を求めよ．
(1) $Y(a)$がとりうる値の範囲を求めよ．
(2) $0<a<b$である$a,\ b$に対して，$\ell_a$と$\ell_b$が$x$軸上で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲を求め，$b$を$a$で表せ．
(3) $(2)$の$a,\ b$に対して，$Z(a)=Y(a)-Y(b)$とおく．$\displaystyle \lim_{a \to +0}Z(a)$および$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{Z^\prime(a)}{a}$を求めよ．
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