筑波大学
2011年 理系 第3問
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$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2) 等式 \[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ．
(3) 連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\ x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1 \end{array} \right. \] の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1) 直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2) 等式 \[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ．
(3) 連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\ x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1 \end{array} \right. \] の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
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