筑波大学
2013年 理系 第4問
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$3$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$が
\[ \begin{array}{lll}
a_{n+1}=-b_n-c_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=-c_n-a_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
c_{n+1}=-a_n-b_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \]
および$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c$を満たすとする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1) $p_n=a_n+b_n+c_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{p_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3) $q_n=(-1)^n \{(a_n)^2+(b_n)^2+(c_n)^2\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{q_n\}$の初項から第$2n$項までの和を$T_n$とする．$a+b+c$が奇数であれば，すべての自然数$n$に対して$T_n$が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(1) $p_n=a_n+b_n+c_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{p_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3) $q_n=(-1)^n \{(a_n)^2+(b_n)^2+(c_n)^2\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{q_n\}$の初項から第$2n$項までの和を$T_n$とする．$a+b+c$が奇数であれば，すべての自然数$n$に対して$T_n$が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ．
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