$n$は自然数とする．
(1) $1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して \[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \] が成り立つことを示せ．
(2) 媒介変数$t$によって \[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \] と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．ただし必要なら \[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \] を用いてよい．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ． \imgc{86_1824_2013_1}