埼玉大学
2013年 理学部 第3問
3
3
関数$f(x)=xe^{-x}$について,実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする.
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ \ \ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$
また,点$(0,\ 0)$,$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし,点$(1,\ 0)$,$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする.
(1) $(\mathrm{A})$,$(\mathrm{B})$を利用して,$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ.
(2) $\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ.さらに,曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ.
(3) 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \] ただし,必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい.
$(\mathrm{A})$ \ \ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ \ \ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$
また,点$(0,\ 0)$,$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし,点$(1,\ 0)$,$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする.
(1) $(\mathrm{A})$,$(\mathrm{B})$を利用して,$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ.
(2) $\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ.さらに,曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ.
(3) 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \] ただし,必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい.
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。