九州工業大学
2011年 工学部 第1問
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四面体$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$,$\mathrm{OC}=1$,$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=60^\circ$をみたしている.線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし,線分$\mathrm{OM}$を$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta \ (0^\circ<\theta<180^\circ)$として,次に答えよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$のとき,$s$を$\theta$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき,$\cos \theta$と$s$の値を求めよ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$のとき,$s$を$\theta$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき,$\cos \theta$と$s$の値を求めよ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
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