山形大学
2011年 工学部 第4問
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$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある.曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし,原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ.
(2) 点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ.
(3) 直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし,線分OHの長さを$d$とする.
[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ. [(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ.
(1) 直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ.
(2) 点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ.
(3) 直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし,線分OHの長さを$d$とする.
[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ. [(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ.
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