空間上に相異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$は互いに直交している．次の問いに答えよ．
(1) $4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて， \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \] となることを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする．
(2) (1)を用いて， \[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \] が成り立つことを示せ．
(3) $\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする．このとき線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ．