津田塾大学
2016年 学芸（数学） 第1問
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次の問いに答えよ．
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ． \[ \frac{d^n}{dx^n}(e^x \sin x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して， \[ a_n=3+\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1},\quad s_n=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n+1} \] とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対して，$s_{n-1}<s_n$が成り立つことを示せ．
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ． \[ \frac{d^n}{dx^n}(e^x \sin x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]
(2) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して， \[ a_n=3+\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1},\quad s_n=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n+1} \] とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対して，$s_{n-1}<s_n$が成り立つことを示せ．
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