津田塾大学
2014年 学芸（数学） 第2問
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次の問いに答えよ．
(1) 関数$f(x)$が，すべての$x$に対して$f^{\prime\prime}(x) \leqq 0$を満たすとする．このとき，
$(\ast)$ \quad $x_1<x_2<x_3$に対して \ \ $\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \geqq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$
が成立することを示せ．
(2) 関数$f(x)$が$(\ast)$を満たすとする．このとき，$a<b$を満たす実数$a,\ b$と$0<t<1$を満たす$t$に対して， \[ f((1-t)a+tb) \geqq (1-t)f(a)+tf(b) \] が成立することを示せ．
(1) 関数$f(x)$が，すべての$x$に対して$f^{\prime\prime}(x) \leqq 0$を満たすとする．このとき，
$(\ast)$ \quad $x_1<x_2<x_3$に対して \ \ $\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \geqq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$
が成立することを示せ．
(2) 関数$f(x)$が$(\ast)$を満たすとする．このとき，$a<b$を満たす実数$a,\ b$と$0<t<1$を満たす$t$に対して， \[ f((1-t)a+tb) \geqq (1-t)f(a)+tf(b) \] が成立することを示せ．
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