津田塾大学
2010年 学芸（情報科学） 第3問
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実数$A,\ B$に対して方程式$x^2-Ax+B=0$の解を$p,\ q$とする．ただし$B \neq 0$とする．
(1) 自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき，$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ．
(2) 自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ．
(3) $\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき，$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ．
(1) 自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき，$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ．
(2) 自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ．
(3) $\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき，$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ．
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