津田塾大学
2010年 学芸（国際関係） 第1問
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次の問に答えよ．
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき， \[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \] が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2) $f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3) 連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq x^2-1 \\ y \leqq -x^2+3x+1 \\ x \geqq 0 \end{array} \right. \] の表す領域の面積を求めよ．
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき， \[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \] が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2) $f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3) 連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq x^2-1 \\ y \leqq -x^2+3x+1 \\ x \geqq 0 \end{array} \right. \] の表す領域の面積を求めよ．
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