津田塾大学
2010年 学芸（数学） 第2問
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一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t \ \ (0 \leqq t \leqq 1)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{BPC}=\theta$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3) 点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3) 点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．
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