兵庫県立大学
2015年 経済・経営 第1問
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次の問に答えなさい.
(1) $2$つの解$\alpha=1+\sqrt{2}$,$\beta=\sqrt{3}$をもつ$2$次方程式を一つ求めなさい.
(2) ある$2$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$\alpha=s+t \sqrt{2}$であった.このとき,もう一つの解$\beta$に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい. \begin{jituwaku} $\alpha=s+t \sqrt{2}$から簡単な計算により,$\alpha^2-2s \alpha+s^2-2t^2=0$を得る.これは,$\alpha$が$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$の解であることを意味することから,$f(x)=x^2-2sx+s^2-2t^2$がわかる.よって,$f(x)=0$のもう一つの解$\beta$は$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$を解いて$\beta=s-t \sqrt{2}$と求まる. \end{jituwaku}
(3) $2$次方程式$x^2+px+q=0$において,$p,\ q$は有理数とする.$\alpha=1+\sqrt{2}$がこの方程式の解であるとき,もう一方の解$\beta$を求めなさい.
(1) $2$つの解$\alpha=1+\sqrt{2}$,$\beta=\sqrt{3}$をもつ$2$次方程式を一つ求めなさい.
(2) ある$2$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$\alpha=s+t \sqrt{2}$であった.このとき,もう一つの解$\beta$に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい. \begin{jituwaku} $\alpha=s+t \sqrt{2}$から簡単な計算により,$\alpha^2-2s \alpha+s^2-2t^2=0$を得る.これは,$\alpha$が$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$の解であることを意味することから,$f(x)=x^2-2sx+s^2-2t^2$がわかる.よって,$f(x)=0$のもう一つの解$\beta$は$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$を解いて$\beta=s-t \sqrt{2}$と求まる. \end{jituwaku}
(3) $2$次方程式$x^2+px+q=0$において,$p,\ q$は有理数とする.$\alpha=1+\sqrt{2}$がこの方程式の解であるとき,もう一方の解$\beta$を求めなさい.
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