大阪市立大学
2011年 文系 第4問
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$N,\ a,\ b$は正の整数とする.箱の中に赤玉が$a$個,白玉が$b$個入っている.箱から無作為に$1$個の玉を取り出し,色を記録して箱に戻す.この操作を繰り返し,同じ色の玉が$2$回続けて出るか,または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する.$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし,$\displaystyle p = \frac{a}{a+b},\ q = \frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく.次の問いに答えよ.
(1) $P(2j),\ P(2j +1) \ (j = 1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ.
(2) 偶数回取り出して終わる確率$\displaystyle Q = \sum_{j=1}^{N+1} P(2j)$について,$\displaystyle Q > \frac{1-2r}{1-r}$となることを示せ.
(1) $P(2j),\ P(2j +1) \ (j = 1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ.
(2) 偶数回取り出して終わる確率$\displaystyle Q = \sum_{j=1}^{N+1} P(2j)$について,$\displaystyle Q > \frac{1-2r}{1-r}$となることを示せ.
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