図に示す正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．点$\mathrm{P}$は最初頂点$\mathrm{A}$にあって， \\ サイコロを投げて，$1$または$2$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は右まわり \\ に一つ隣の頂点$\mathrm{B}$に移動する．一方，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目 \\ が出たとき，点$\mathrm{P}$は左まわりに二つ隣の頂点$\mathrm{E}$に移動する． \\ サイコロを$1$度投げて点$\mathrm{P}$が移動するのを$1$試行とし，この試行 \\ を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ． \img{410_1079_2010_2}{45}
(1) 最初の試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_1$，続く$2$回目の試行を行った後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_2$とする．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の$3$個の点を頂点とする三角形が正三角形になる確率を求めよ．
(2) $2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率を求めよ．
(3) $6$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にない確率を求めよ．