東京理科大学
2012年 理工(数・建築・電気電子情報工) 第2問
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$a$を正の定数とし,座標平面において放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$を考える.ただし,$t>0$とする.点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.$x$軸上の点$\mathrm{Q}$を,$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を満たし,その$x$座標が$\mathrm{R}$の$x$座標より大きいものとする.
(1) 点$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3) 直線$\ell$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で,中心が第$1$象限にあるものを考える.この円の中心の座標を$(q,\ r)$とするとき,$q,\ r$を$t$と$a$を用いて表せ.
(4) $(3)$の$q,\ r$に対して,$t$が$0$に限りなく近づくときの,$\displaystyle \frac{q}{t},\ \frac{r}{t^2},\ \frac{r}{q^2}$の極限値をそれぞれ求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(3) 直線$\ell$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で,中心が第$1$象限にあるものを考える.この円の中心の座標を$(q,\ r)$とするとき,$q,\ r$を$t$と$a$を用いて表せ.
(4) $(3)$の$q,\ r$に対して,$t$が$0$に限りなく近づくときの,$\displaystyle \frac{q}{t},\ \frac{r}{t^2},\ \frac{r}{q^2}$の極限値をそれぞれ求めよ.
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