埼玉大学
2016年 教育・経済学部 第2問
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![a,b,cおよびdは実数で,a>0,b<0,d≠0とする.またf(x)=ax+b,g(x)=x^2+cx+dとおく.xyz空間内に3点P_0,P_1,P_2があり,点Oは原点を表す.点P_0(-4,0,4√3)は定点で,P_1とP_2はそれぞれ実数tの値に応じて定まる点P_1(-t,f(t),2√3),P_2(t,g(t),0)である.この3点P_0,P_1,P_2が次の3条件をみたしているとき,定数a,b,c,dの値をすべて求めなさい.\setlength{skip}{8mm}(i)t=0のとき,ベクトル\overrightarrow{OP}_1と\overrightarrow{OP}_2のなす角はπ/3である.(ii)ベクトル\overrightarrow{OP}_1の長さの最小値は\sqrt{14}である.(iii)点O,P_0,P_1,P_2は,t=1およびt=-3のとき,それぞれ同一平面上にある.](./thumb/118/1347/2016_2.png)
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$a,\ b,\ c$および$d$は実数で,$a>0$,$b<0$,$d \neq 0$とする.また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく.$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$があり,点$\mathrm{O}$は原点を表す.点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$,$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である.この$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき,定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい.
\setlength{\leftskip}{8mm}
(ⅰ) $t=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である.
(ⅱ) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である.
(ⅲ) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$は,$t=1$および$t=-3$のとき,それぞれ同一平面上にある.
\setlength{\leftskip}{8mm}
(ⅰ) $t=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である.
(ⅱ) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である.
(ⅲ) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$は,$t=1$および$t=-3$のとき,それぞれ同一平面上にある.
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