$C_1$を半径$1$の円とする．$H_1$を円$C_1$に内接する正六角形とし，正六角形$H_1$に内接する円を$C_2$とする．次の各問に答えよ．
(1) 円$C_2$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$である．
(2) 円$C_2$に内接する正六角形を$H_2$とする．この操作を繰り返し，$10$個の円$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$を作る．このとき，$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$の円周の長さの総和は \[ \frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+\fbox{キ}\fbox{ク}\fbox{ケ} \sqrt{\fbox{コ}}}{256} \pi \] である．
(3) 円$C_1$に内接する正十二角形に，円$C^\prime$が内接している．このとき，$C^\prime$の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{サ}+\sqrt{\fbox{シ}}}{2 \sqrt{2}}$である．