浜松医科大学
2012年 医学部 第1問
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関数$f(x)=1+\sin x+\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を考える.以下の問いに答えよ.
(1) $y=f(x)$の増減表を作成し,極値を求めよ.
(2) $\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき,和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ.
(3) 次の不等式$\tokeiichi,\ \tokeini$がそれぞれ成り立つことを証明せよ.また,等号がいつ成立するか.それぞれ調べよ.
(ⅰ) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ⅱ) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$
(1) $y=f(x)$の増減表を作成し,極値を求めよ.
(2) $\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき,和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ.
(3) 次の不等式$\tokeiichi,\ \tokeini$がそれぞれ成り立つことを証明せよ.また,等号がいつ成立するか.それぞれ調べよ.
(ⅰ) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ⅱ) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$
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