豊橋技術科学大学
2012年 工学部 第1問
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![座標平面上の点を,原点のまわりに角θだけ回転移動させる一次変換を表す2行2列の行列をAとする.以下の問いに答えよ.(1)座標平面上の点P_0(a,b)がAによって変換された点を点P_1とする.2点P_0,P_1の間の長さを求めよ.(2)A^n=Eとなる条件を示せ.ただし,nは2以上の整数,0≦θ≦π,Eは単位行列とする.(3)座標平面上の点P_0(a,b)がAによってl回変換された点を点P_lとする.点P_0がAによってn回変換されると,原点の周りを1周して元の点P_0に戻るとする.n個の点P_0,P_1,・・・,P_{n-1}で囲まれたn角形の面積S_nを求めよ.また,\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1を用いて,\lim_{n→∞}S_nを求めよ.(4)座標平面上の点を,原点からの方向を変えずに距離をk倍する一次変換を表す2行2列の行列をBとする.座標平面上の点Q_{i-1}が一次変換ABによって点Q_iに移るとする.点Q_0を(c_0,d_0)とするとき,2点Q_{i-1},Q_iの間の長さm_iをk,θ,c_0,d_0を用いて表せ.](./thumb/410/1079/2012_1.png)
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座標平面上の点を,原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする.$2$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ.
(2) $A^n=E$となる条件を示せ.ただし,$n$は$2$以上の整数,$0 \leqq \theta \leqq \pi$,$E$は単位行列とする.
(3) 座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする.点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると,原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする.$n$個の点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ.また,$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(4) 座標平面上の点を,原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする.座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする.点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき,$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$,$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ.
(1) 座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする.$2$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ.
(2) $A^n=E$となる条件を示せ.ただし,$n$は$2$以上の整数,$0 \leqq \theta \leqq \pi$,$E$は単位行列とする.
(3) 座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする.点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると,原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする.$n$個の点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ.また,$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(4) 座標平面上の点を,原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする.座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする.点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき,$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$,$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ.
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コメント(2件)
![]() つくりました。単元は行列に分類しましたが、あまり行列的なことはしませんでした。ちなみに旧課程の問題です。 |
![]() この問題の解答を探しています。宜しくお願いします。 |
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