旭川医科大学
2013年 医学部 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) 関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.
(2) $a$を正の実数とする.曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が,曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき,$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ.
(3) 任意に与えられた$t>-1$に対して,直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること,および$a>1$であることを示せ.
(4) 直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき,その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする.$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ,さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ.
(1) 関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.
(2) $a$を正の実数とする.曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が,曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき,$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ.
(3) 任意に与えられた$t>-1$に対して,直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること,および$a>1$であることを示せ.
(4) 直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき,その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする.$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ,さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ.
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