愛知県立大学
2013年 理系 第4問
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![f=(xy)(\begin{array}{cc}a&b\c&a\end{array})(\begin{array}{c}x\y\end{array})とする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,a,b,c,x,yは実数とする.(1)次の等式を満たすd,eをa,b,cを用いて表せ.(\begin{array}{cc}a&b\c&a\end{array})=(\begin{array}{cc}a&d\d&a\end{array})+(\begin{array}{cc}0&e\-e&0\end{array})(2)b=c=0のとき,x=y=0を除くすべてのx,yに対してf>0となるaの条件を求めよ.(3)P=(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\sinθ&cosθ\end{array})とし,0≦θ≦π/2とする.このとき,次の等式を満たすz,w,θを求めよ.ただし,b≠0とする.P^{-1}(\begin{array}{cc}a&b\b&a\end{array})P=(\begin{array}{cc}z&0\0&w\end{array})(4)(1)と(3)の結果を利用して,x=y=0を除くすべてのx,yに対してf>0となるaの条件をb,cを用いて求めよ.](./thumb/413/2579/2013_4.png)
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$f=(x \quad y) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$とする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,$a$,$b$,$c$,$x$,$y$は実数とする.
(1) 次の等式を満たす$d,\ e$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ. \[ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & a \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} a & d \\ d & a \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} 0 & e \\ -e & 0 \end{array} \right) \]
(2) $b=c=0$のとき,$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を求めよ.
(3) $P=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$とし,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.このとき,次の等式を満たす$z$,$w$,$\theta$を求めよ.ただし,$b \neq 0$とする. \[ P^{-1} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) P=\left( \begin{array}{cc} z & 0 \\ 0 & w \end{array} \right) \]
(4) (1)と(3)の結果を利用して,$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を$b,\ c$を用いて求めよ.
(1) 次の等式を満たす$d,\ e$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ. \[ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & a \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} a & d \\ d & a \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} 0 & e \\ -e & 0 \end{array} \right) \]
(2) $b=c=0$のとき,$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を求めよ.
(3) $P=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$とし,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.このとき,次の等式を満たす$z$,$w$,$\theta$を求めよ.ただし,$b \neq 0$とする. \[ P^{-1} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) P=\left( \begin{array}{cc} z & 0 \\ 0 & w \end{array} \right) \]
(4) (1)と(3)の結果を利用して,$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を$b,\ c$を用いて求めよ.
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