山形大学
2010年 医学部 第4問
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関数$f(x)$は,すべての実数$x$に対して$f(x+2\pi)=f(x)$を満たす連続な関数とし,$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t) \, dt>0$とする.さらに
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ.
(2) すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ.
(3) 関数$g(x)$は3次関数であることを示せ.
(4) 関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ.
(5) 方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき,$c$の値を求めよ.
(1) すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ.
(2) すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ.
(3) 関数$g(x)$は3次関数であることを示せ.
(4) 関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ.
(5) 方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき,$c$の値を求めよ.
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