高知工科大学
2010年 理系 第4問
4
4
$r$と$\theta$を$-1<r<1,\ 0 \leqq \theta < 2\pi$を満たす定数とする.行列$A=r \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$,$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対して,次の各問に答えよ.
(1) 行列$E-A$は逆行列を持つことを証明し,$(E-A)^{-1}$を求めよ.
(2) 全ての自然数$n$について \[ A^n=r^n \left( \begin{array}{rr} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array} \right) \] が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) $n$を2以上の自然数とする.$(E+A+\cdots +A^{n-1})(E-A)$を簡単な式にせよ.
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \maruichi \quad \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \cos k\theta \hfill \maruni \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \sin k\theta \hfill \]
(1) 行列$E-A$は逆行列を持つことを証明し,$(E-A)^{-1}$を求めよ.
(2) 全ての自然数$n$について \[ A^n=r^n \left( \begin{array}{rr} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array} \right) \] が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ.
(3) $n$を2以上の自然数とする.$(E+A+\cdots +A^{n-1})(E-A)$を簡単な式にせよ.
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \maruichi \quad \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \cos k\theta \hfill \maruni \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}r^k \sin k\theta \hfill \]
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。