東京医科歯科大学
2012年 医学部 第3問
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関数$f(x)=x^3-x^2+x$について,以下の各問いに答えよ.
(1) $f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ.
(2) $f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく.$x>0$について \[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \] が成立することを示せ.
(3) $b>a>0$について \[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \] が成立することを示せ.
(4) 自然数$n$について,(2)で定義された$g(x)$を用いて \[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \] とおくとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ.
(1) $f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ.
(2) $f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく.$x>0$について \[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \] が成立することを示せ.
(3) $b>a>0$について \[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \] が成立することを示せ.
(4) 自然数$n$について,(2)で定義された$g(x)$を用いて \[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \] とおくとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ.
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